음악학과 이론

                                          (제2부)

박  재  성

제1부의 "기본 개념"과 "기본 용어"의 소개에 이어서 제2부에서는 "음고류집합"에 관해서 공부하고자 한다.  음고류집합은 집합이론을 형성하는 기초 소재이다.  제2부의 강의 내용은 아래와 같다.

제2부

 음고류집합

Pitch-Class Set (줄여서 "Set"로 쓰임)

<음고류집합>을 보다 쉽게 이해하려면 아를 우리에게 보다 익숙한 조성음악에서의 "화음"과 비교해 보면 된다.  왜냐하면 "음고류집합"이란 결국 악보 상에 나타난 음표들의 "집합"을 말하기 때문이다.  예를 들어 아래의 예에서 네모칸으로 된 패시지는 하나의 "집합"이 될 수 있다.  그 이유는 맨처음에 수직화음으로 제시된 3화음이 수평적으로 상행하면서 펼쳐지고 강한 스타카토로 마치면서 하나의 인상적인 악상을 만들고 있기 때문이다[예 1a].

[예 1a] Beethoven, Piano Sonata No. 5, Op. 10/1, I, mm. 1-4

이러한 세 가지 동작(수직화음의 제시 - 상행분산화음 - 강한 스타카토에 의한 마침)으로 이루어진 패시지의 구성음들을 우리는 대개 다음과 같이 하나의 화음형으로 이해하게 된다[예 1b].

그런데 [예 1b]의 화음형에는 많은 중복음들이 포함되어 있으므로 이 화음형을 [예 1c]처럼 축약시키더라도 그 구성음을 이해하는 데에는 아무런 지장이 없다.

집합이론은 집합들 사이의 관계를 밝히는 것을 목적으로 하기 때문에 집합형은 유일한 형태로 만들어져 있어야 한다.  예를 들면 위의 [예 1c]의 화음형이 아래와 같이(예 1d) 세 가지로 표기되면 다른 화음들과 비교할 수 없으므로, 단 한 가지의 "유일한" 형태로 표기되어야 한다.  이 때 이용하는 음정 계산 방법이 제1부에서 공부하였던 <서열음고류음정>((ordered pitch-class interval)이다.

아래의 [예 1d]에서 보면, 세 가지 배열 중에서 (a)의 배열 방법(C-Eb-G)이 가장 좁은 음역에서 이 화음을 수평적으로 표기할 수 있으며, 이 배열을 "유일한 형태"라고 부른다.  즉, (a)의 배열이 가장 작은 서열음고류음정을 가지고 있기 때문이다.

[예 1d] 세 가지 배열에서 <서열음고류음정>의 비교

이 배열(C-Eb-G)을 정수기보법으로 표기하면 [0,3,7]이 되며, [0,3,7]이 이 화음의 음고류집합이 된다.

(1)   "표준형"  (Normal Form)

(* 현재로서는 Normal Form이란 용어가 일반화되었지만, 집합이론의 창시자인 Allen Forte는 그의 저서 The Structure of Atonal Music에서 표준형을 Normal Order라고 불렀다.)

위의 [예 1-d]에서 (a)의 배열을 <표준형>이라고 부른다.  나머지 두 가지의 배열, (b)와 (c)도 이 화음의 구성음을 표기해 주고 있으나, 이 화음의 "유일한" 형태는 단 한 개만 존재하며, 이 "유일한" 형태가 바로 <표준형>이다.  어떠한 종류의 음들의 집합이라도 표준형으로 만들어져야만 다른 집합들과 비교 대상이 될 수 있다.  그 이유는 다음과 같다.

우선 아래의 예를 보자(예 2a).  이 곡은 <베베른>의 , 초기 무조가곡들 중의 하나인 「다섯 개의 가곡」작품 3번(1908-1909) 중에서 제5곡의 시작 부분이다.

[예 2a] Webern, Op. 5/V

이 패시지의 시작 부분에서 피아노와 성악 부분의 화음과 선율 단편 하나씩을 4음군(tetrachord)으로 분절시켜 이들의 관련성을 살펴보기로 하자.

우선 이들의 <표준형>을 만드는 방법을 알아보자.  편의상 두 개 분절의 첫 번째 분절을 a1, 두 번째 분절을 a2라 부르자.  a1은 네 개의 음표로 구성되기 때문에 아래와 같이 네 가지의 배열이 가능하다(위의 [예 1d]은 3음군이기 때문에 세 가지의 배열이 가능했었다).

[예 2b] a1 분절의 네 가지 배열

이 예에서도 위의 [예 1d]에서처럼 (a)의 배열 방법이 가장 작은 서열음고류음정을 가지고 있기 때문에 (a) 배열이 이 4음군의 표준형(Normal Form)이 된다.  말하자면 (a)의 배열 방법으로 하면 이 집합의 첫 음과 마지막 음 사이의 간격이 가장 좁으며, 따라서 이 배열 방법이 이들 네 음을 가장 작은 공간 내에 배열 시킬 수 있는 것이다.  이러한 것을 나타내는 표기법은 다음과 같다(표준형으로 된 음고류집합은 각괄호로 묶고, 각 음고류들 사이는 쉼표로 구분한다.  쉼표로 구분하지 않는 표기법도 많이 쓰이고 있으나 이에 대하여는 나중에 설명하겠다) :

[예 2c]  a1 [0,1,3,4]

이번에는 [예 2b]의 서열음고류음정을 제1부에서 공부했던 "정수기보법"에 의한 계산 방법을 사용하여 산출해 보자.  아래의 표는 각 배열을 정수기보법으로 적은 후, 각 배열의 서열음고류음정을 계산한 것이다.

마찬가지 방법으로 성악 선율의 첫 네 음(a2)을 하나의 음고류집합으로 만들어, 이 집합의 표준형을 찾아보자.   우선 아래와 같이 네 개의 배열 방법이 가능하다.

[예 2c] a2 분절의 네 가지 배열

각 배열의 서열음고류음정을 계산하여 표준형을 찾아보면 아래와 같다 :

이 계산 결과에 의해서도 성악 성부의 첫 4음군도 (a)의 배열이 표준형이 되는 것을 알 수 있다.  즉, 분절 a2의 표준형은 아래와 같이 표기된다.

[예 2d]  a2 [5,6,8,9]

이번에는 <베르크>의 「실내협주곡」에서의 "모토"(Motto) 패시지에서 두 개의 분절을 표준형으로 만들어 보자.  아래의 [예 3a]에서 분절 a1은 피아노에서의 첫 4음군(tetrachord)인데, 여덟 개 음표로 된 "모토" 선율 중에서 나머지 네 음(갈색 음표)은 마디 6∼8에서 두 개의 클라리넷에 의한 주제 선율(잉글리시 호른)의 오스티나토 반주 음형(갈색 음표)으로 사용된다.

분절 a2는 "모토"의 후반부로서 바이올린과 호른에 의해 모토를 종결시키는 역할을 하고 있다.  호른에서의 마지막 두 음(E, G)은 피아노에서의 모토 선율의 종지형을 모방하면서 모토 부분(마디 1∼5)에 응집성을 주고 있다.

[예 3a] Alban Berg, Chamber Concerto for Piano and

Violin with Thirteen Wind Instruments (1923)

우선 분절 a1의 표준형을 찾는 과정을 다시 한 번 설명해 보면 다음과 같다 :

a2의 표준형도 마찬가지 방법으로 찾을 수 있다 :

따라서 이들 두 분절의 표준형은 아래와 같이 표기된다.

(2)   "원형"  (Prime Form)

집합이론에서는 이도형(transposition)에 의한 12개의 표준형들의 대표를 정해 놓았는데, 이 대표형이 바로 원형(Prime Form)으로 불리운다.

집합이론에서의 원형은 "표준형의 12개 이도형들 중에서 음고류 "0"으로 시작하는 표준형"을 말한다.  [예 4a]의 경우에 있어서는 [0,1,3,4]가 원형이 된다.

a2 : 아래의 예에서 보면 성악 선율의 첫 4음군(a2)의 표준형이 [5,6,8,9]인데, 이 집합은 위의 [예 4a]에 포함되어 있다.  말하자면 이 패시지의 a1과 a2는 동일한 원형(prime form)을 공유하고 있으며, 반음 다섯 개 간격의 "이도관계"(transpositional relation)를 가지고 있는 것이다.

다시 말해서 곡의 시작 부분의 피아노 왼손에서의 화성적 패시지와 성악 선율의 시작 부분은 음고류집합의 측면에서 서로 밀접한 관계를 갖고 있는 것으로 분석된다.

[예 4b] Webern, Op. 5/V

집합이론은 이와같이, 표면적으로는--혹은 악보상으로는--전혀 관련이 없어보이는 패시지들 사이에서도 음고류집합 관계를 찾게 해주는 대단히 유용한 분석 수단이 된다.  또한 이러한 개념에 의한 분석 방법을 집합이론 분석(Set-Theoretical Analysis 혹은 Set-Theory Analysis)이라고 부른다.

(3)  집합명

여기에서는 위에서 찾아보았던 집합들의 표준형 혹은 원형에 이름을 붙이는 것에 관해서 공부해 보고자 한다.